Previous Entry Поделиться Next Entry
О формализованной постановке задачи планирования производства и ценообразования
dr_ulm wrote in socialism2
Цель данной статьи – построение уточнённой формализованной модели планирования производства и распределения конечной продукции. Текст предварительно обсуждался и в целом является результатом совместной работы группы товарищей.

Для большей ясности задачу планирования, о которой пойдёт речь, можно считать задачей составления годового плана производства конечной потребительской продукции (товаров и услуг) в масштабах страны. Но это лишь первое приближение, реальное содержание задачи пока несколько размыто. Вся система планирования представляется многоуровневой, или рекурсивной. Есть стратегическая задача составления долгосрочного (на десятки лет) плана развития; в неё вложены среднесрочные (1-5 лет) задачи планирования производства, решаемые в рамках ответов, полученных при решении стратегической задачи. Есть и краткосрочные локальные задачи, обусловленные среднесрочными планами, например, задача оптимизации технологической цепочки производства отдельного продукта. В целом обо всей системе и о взаимосвязях между уровнями будет написано чуть позже. Здесь пока рассматривается одна из среднесрочных задач.

Текст построен как цепь рассуждений, ведущая от общеизвестного материала к относительно новому. Поэтому, чтобы понять, его непременно нужно прочитать до конца. Также для понимания будет полезно предварительно ознакомиться со статьёй П. Кокшотта «Расчёт в натуральной форме от Нейрата до Канторовича». Ещё в тексте есть отсылки к аукционной системе распределения – о ней мы ранее уже писали более подробно. И об обозначениях: по техническим причинам вектор в статье обозначается попеременно то жирным шрифтом, то стрелочкой над буквой.

Итак, оттолкнёмся от модели, описываемой П. Кокшоттом в его статье. Речь пойдёт о методе Канторовича, более широко известном как метод линейного программирования. Задача планирования производства, рассматриваемая автором, в обобщённом виде ставится следующим образом. Пусть есть n переменных x1, x2,...xn, отражающих объёмы производства конечной и промежуточной продукции, а также объёмы использования природных ресурсов. Вместе эти переменные образуют вектор x. На возможные значения переменных накладываются определённые ограничения. Во-первых, эти переменные должны удовлетворять системе линейных уравнений:

(1)


Эта система отражает производственные взаимосвязи между различными ресурсами. Например, если x1 – это суммарный объём использования некоторого ресурса, применяющегося при производстве двух видов продукции, x2 и x3, в количестве, соответственно, 2 и 4 на единицу, то в систему войдёт уравнение: x1 − 2∙x2 − 4∙x3 = 0.

Во-вторых, переменные должны удовлетворять набору неравенств, отражающих ограничения, накладываемые на использование ресурсов:

(2)


В-третьих, задаётся луч плана, определяющий соотношение, в котором должна быть произведена конечная продукция. Пусть первые p из переменных xi отражают все виды конечной продукции, причём целевое соотношение объёмов описывается значениями r1,...rp: на каждые ri единиц продукции xi должно быть выпущено rj единиц продукции xj. Луч плана тогда описывается следующими дополнительными условиями на допустимые значения переменных xi:

(3)


Любой набор значений xi, удовлетворяющий всем трём вышеперечисленным группам условий, называется возможным планом. Тот из возможных планов, при котором достигается максимальное значение целевой функции, называется оптимальным планом. Целевая функция в данном случае довольно тривиальна:

(4)


Таким образом, рассматриваемая П. Кокшоттом задача состоит в максимизации выпуска всех видов конечной продукции в жёстко заданном соотношении, при определённых ограничениях в части использования ресурсов. Поставленная таким образом задача сводится к стандартной задаче линейного программирования, которая затем решается тем или иным аналитическим или численным методом.

Отметим, что сформулированная таким образом задача планирования обладает некоторыми недостатками. Предположим, что имеются два конечных продукта: стулья, производимые из дерева, и вилки, производимые из алюминия. Пусть при этом дерево является ограниченным ресурсом, а алюминий – практически нет. Пусть также по лучу плана жёстко заданное требуемое соотношение выпуска стульев и вилок составляет 1:1. Стульев в количестве, достаточном для всех, произвести не удаётся, по причине ограниченности ресурса – дерева. Тогда получается, что и вилок на всех хватать не должно, несмотря на то, что их можно было бы произвести в любом количестве. Очевидно, такой план не может считаться правильным.

Исправить этот недостаток можно путём следующего переопределения целевой функции:

(5)


где wi – некоторые весовые коэффициенты, показывающие относительную значимость единицы конечной продукции того или иного вида.

Далее, целью производства, вообще говоря, является удовлетворение потребностей людей, а не безграничное увеличение объёмов производства. Для каждого вида конечной продукции существует некий предельный объём его выпуска, выше которого дальнейшее наращивание производства бессмысленно, так как потребность общества в данном виде продукции уже полностью удовлетворяется. Обозначим эти предельные объёмы как и скажем, что среди неравенств задачи планирования обязательно должны быть и следующие:

(6)


Но у нас возникает тогда новая проблема. Пусть у нас есть два продукта, требующие в производстве одинакового количества ресурсов, но имеющие разные весовые коэффициенты значимости wi. Тогда, по сформулированной целевой функции, производство менее значимого продукта не начнётся до тех пор, пока не будет полностью удовлетворена потребность в более значимом. Таким образом, в плане появляется несбалансированность.

Вернёмся к статье П. Кокшотта. Для получения луча плана используется информация, получаемая из системы распределения конечной продукции по потребителям. Эта система построена следующим образом. Каждый гражданин за свою работу получает некоторое количество т.н. трудовых символов, соответствующее количеству и качеству его труда. Для каждого продукта указывается его трудовая стоимость, т.е. количество трудовых символов, в которое обходится его производство. Однако фактическая цена продукта для потребителя устанавливается как равновесная, при которой весь произведённый объём продукта полностью раскупается без явлений дефицита: при этой равновесной цене количество продукта, которое потребители желают приобрести, равно произведённому количеству. Такая цена устанавливается специально, на основе статистической информации об объёмах продаж. Равновесная цена на продукт может не совпадать с его трудовой стоимостью. В случае, если цена ниже стоимости, то объём производства снижается; если же равновесная цена превышает трудовую стоимость, то объём производства, по возможности, увеличивается.

Таким образом, П. Кокшотт предлагает считать, что предельный объём выпуска продукта должен совпадать с объёмом, в котором потребители желают его приобрести по цене, равной его трудовой стоимости. В этом, безусловно, есть резон: если потребители не оценивают продукт в его трудовую стоимость, то это означает, что они желали бы скорее сократить свои трудозатраты, чем производить и потреблять лишние объёмы этого продукта. Тем самым у них появилось бы больше ценного свободного времени.

Попробуем теперь разобрать более детально вопрос о равновесной цене. В этом нам поможет теория предельной полезности. Изложим вкратце основные понятия. Назовём максимальную цену, по которой отдельно взятый потребитель согласен приобрести некоторый продукт, полезностью этого продукта для этого потребителя. В нашем случае подразумевается, что цена исчисляется в трудовых символах. Теперь возьмём некоторое количество единиц продукта и распределим его по тем потребителям, для которых этот продукт наиболее полезен, в порядке убывания полезности. В первую очередь тогда продукт получит тот потребитель, для которого он наиболее полезен, затем следующий и т.д. Если потребитель может получить более одной единицы продукта, то полезность каждой последующей единицы для него будет становиться всё меньше. Предельная полезность тогда определяется как полезность последней распределённой единицы продукта для того потребителя, который её получил.

Зависимость предельной полезности от объёма производства продукта будет, таким образом, иметь вид монотонно убывающей функции:



Здесь u – предельная полезность, а x – объём производства. Вид функции здесь выбран исходя из следующих соображений. Для некоторой части потребителей продукт крайне важен и полезен, и они согласны приобретать его практически по любой цене. Это можно назвать неэластичным спросом, он отражён в левой части графика. Для другой части потребителей полезность продукта относительно невелика; они могут отказаться от его приобретения, если цена окажется выше некоторого личного предела. Это показано в средней части графика (эластичный спрос). Наконец, при некотором объёме производства часть продукта останется на полках, даже если его раздавать бесплатно, или по символической, очень низкой цене. Предельная полезность в этом случае должна резко обрываться к нулю. Это отражено в правой части графика.

Обозначим трудовую стоимость продукта как v. Тогда, по П. Кокшотту, предельный объём выпуска продукта должен быть таким, что предельная полезность продукта (выражаемая, как говорилось ранее, в трудовых символах) равнялась его трудовой стоимости: .

Рассмотрим теперь два некоторых вида конечной продукции с одинаковой трудовой стоимостью, но с разными кривыми предельной полезности. Пусть единственным значимым ограничением в их производстве являются наличествующие трудовые ресурсы. Тогда при появлении дополнительных трудовых ресурсов в объёме, достаточном для производства одной дополнительной единицы того или иного вида конечной продукции, в правильный оптимальный план должен попасть тот вид продукта, предельная полезность которого при текущих объёмах производства выше. Это означает, что целевой функцией задачи планирования должна быть суммарная полезность всех видов конечной продукции:

(7)


Суммарная полезность U по отдельно взятому продукту здесь определяется как интеграл функции предельной полезности от нуля до текущего значения объёма производства x:

(8)


т.е. сумма личных полезностей всех произведённых и потреблённых единиц продукта. По построению эта функция должна монотонно возрастать:



При этом после определённого значения x функция U(x) перестаёт расти – это означает, что потребность в продукте x уже полностью удовлетворена. При этом же значении x функция предельной полезности u(x) обращается в ноль.

Очевидно, такая целевая функция значительно адекватнее отражает нашу реальную экономическую цель - удовлетворение потребностей людей. Она представляет собой значительное улучшение относительно целевых функций (4) и (5). Правда, при этом задача планирования перестала быть линейной.

Есть, однако, и с таким подходом некоторая проблема. Дело в том, что общественная польза от продукта не равна сумме личных полезностей. Например, пусть трудовая стоимость флакона с шампунем равна 10 трудовым символам. Часть потребителей будут оценивать шампунь ниже его трудовой стоимости. Текущая же модель предполагает производство шампуня только в объёме, достаточном для удовлетворения потребности тех потребителей, которые оценивают шампунь выше его трудовой стоимости. В результате часть населения не будет приобретать шампунь и будет ходить с грязной головой, что может привести к эпидемиям педикулёза или сыпного тифа.

Противоположный пример – автомобиль. Трудовая стоимость его производства относительно невелика, однако появление значительного количества личного транспорта приводит к возрастанию нагрузки на инфраструктуру и ухудшению городской среды обитания. По размышлении мы приходим к выводу, что такие общественно значимые аспекты есть у большинства видов потребляемых продуктов.

Поэтому нам необходимо вводить понятие функции общественной полезности продукта, U’. Эта функция получается из функции суммарной личной полезности U путём прибавления к ней некоторых положительных и отрицательных поправок. Если производство и потребление продукта связано с дополнительными трудозатратами (в случае автомобилей, например, на строительство и ремонт автодорог), то из U(x) необходимо вычесть функцию зависимости этих дополнительных трудозатрат от объёма производства x. Если же наоборот, потребление продукта связано со снижением трудозатрат (как, например, всеобщее использование шампуня снижает нагрузку на медицину), то к U(x) нужно добавить функцию зависимости объёма этого сэкономленного труда от объёма производства продукта x. Можно сказать, что у продукта есть скрытая часть трудовой стоимости, зависящая от объёма его производства; эта скрытая часть может быть как положительной, так и отрицательной.

Однако не только к скрытой трудовой стоимости сводится общественная полезность. У личных автомобилей, опять же, есть эффект загрязнения воздуха и ускоренного расходования невосполнимого природного ресурса – нефти. Такие моменты тоже следует учитывать в функции U’. Если потребление продукта ведёт к ускоренному истощению ресурсов, то в функции общественной полезности этого продукта должна появиться отрицательная поправка. И наоборот, если потребление продукта позволяет экономить невосполнимые ресурсы – поправка должна быть положительная.

Учёт аспектов скрытой трудовой стоимости и невосполнимых ресурсов могут выполнять специализированные институты и государственные органы (Госплан-2.0). Однако есть и такие аспекты общественной полезности, корректный анализ и учёт которых невозможен без участия народных конгрессов. Это, во-первых, эстетические и эмоциональные моменты (конгрессам не хотелось бы, чтобы люди ходили с грязной головой и ставили машины на тротуары и газоны). Во-вторых, только народные конгрессы могут определить общественную полезность тех конечных продуктов, которые не сводятся к потребительским. Это в основном большие проекты, такие как, например, освоение космоса, укрепление обороноспособности страны, фундаментальные научные исследования и т.п. В полезности таких проектов вообще нет составляющей личной полезности – их полезность исключительно общественная, а планировать их осуществление, тем не менее, надо одновременно с планированием производства потребительских продуктов.

Следует отметить, что функция общественной полезности продукта, получаемая из функции суммарной личной полезности, не обязательно будет монотонно возрастающей, что осложняет выбор предельного объёма производства. Однако от этого выбора можно вообще отказаться, если ввести понятие общественной полезности свободного времени Uсв(x), с таким же поведением, как на графике U(x). Тогда целевую функцию задачи планирования можно, наконец, сформулировать в следующем виде:

(9)


Полезность свободного времени с увеличением объёмов производства убывает. Поэтому наращивание производства сверх необходимого для удовлетворения потребностей по всем видам конечной продукции происходить не будет, так как в этом случае уменьшиться полезность свободного времени и, следовательно, уменьшиться и значение целевой функции. Конкретный вид функции Uсв(x) должен устанавливаться с помощью народных конгрессов, исходя из относительной общественной значимости труда и отдыха.

При целевой функции (9) перепроизводство по каждому отдельно взятому продукту также невозможно, поэтому от ограничивающих неравенств (6) мы на самом деле можем уже отказаться за ненадобностью.

Следует также учесть, что функция полезности отдельно взятого продукта в общем случае не является независимой от функций полезности других продуктов. Разные виды продукции могут быть для потребителя взаимозаменяемыми (товары-субституты) или дополняющими друг друга (товары-комплементы). Такие продукты можно охарактеризовать как имеющие ненулевую перекрёстную эластичность спроса. Рост полезности по одному продукту будет приводить тогда к росту или падению полезности по другому продукту. Это в общем виде можно учесть путём введения зависимости каждой из функций полезности от объёма производства не одного вида конечной продукции, а нескольких. То есть, функции Ui зависят не от соответствующего xi, а от вектора x. Это не меняет кардинально проблему отыскания максимума целевой функции (9), так как f в конечном счёте так и так зависит от полного вектора объёмов производства.

В системе распределения конечной продукции равновесная цена будет устанавливаться, очевидно, по функции предельной полезности. Если она неизвестна, то поиск равновесной цены для заданного объёма производства превращается в итерационный процесс, описанный в статье П. Кокшотта. Такой метод будет неизбежно порождать более или менее продолжительные периоды дефицита или неликвида, когда текущая цена на товар не совпадает с равновесной. Опыт показывает, что такие явления дестабилизируют экономическую систему. Было бы предпочтительней осуществлять поиск равновесной цены за один шаг, а не за несколько. Для этого нам необходимо знать конкретный вид функции предельной полезности для каждого вида конечной продукции. Кроме того, без этого знания невозможна корректная постановка и решение задачи планирования в сформулированном нами общем виде.

Для определения функций предельной полезности служит аукционная система, о которой мы уже ранее писали более-менее детально. Действительно, честная аукционная ставка потребителя теоретически совпадает с личной для него полезностью данного продукта. Поэтому упорядоченные по убыванию личные ставки, сделанные на определённом временном интервале, и составляют аналог функции предельной полезности в первом приближении. Разумеется, могут иметь место некоторые систематические погрешности, связанные с теми или иными аспектами участия в аукционе. Однако, именно в силу системности таких погрешностей, при наличии достаточного количества статистической информации их можно устранить. В любом случае, наличие некоторой, пусть даже ограниченно достоверной, эмпирической информации о функциях предельной полезности, намного лучше полного отсутствия оной.

Отметим, что в полученной нами модели плановой экономики трудовая стоимость, как скалярная оценка стоимости продукта, вообще говоря, перестала фигурировать. Мы используем трудовую стоимость для расчётов производства, но не как единственную (скалярную) величину стоимости. Кроме трудовых ресурсов, в задаче планирования учитываются также и другие ограниченные ресурсы, в том числе природные. Мы также отказались от расчёта основанных на трудовой стоимости предельных объёмов производства. В системе распределения трудовая стоимость также фактически не используется, так как вместе с объёмами производства мы отвязали от неё и равновесную цену.

В модели, описанной в статье П. Кокшотта, трудовая стоимость в системе распределения используется; это происходит потому, что учитывается именно личная полезность, т.е. соотношение полезности дополнительной единицы продукта и свободного времени, от которого придётся отказаться для её производства. Как мы ранее показали, общественная полезность не складывается из суммы личных полезностей. По мере развития общества эти величины могут рано или поздно совпасть. Если это произойдёт, то каждый индивидуум будет полностью разделять со всем обществом понимание полезности различных продуктов. Но в такой ситуации надобность в системе распределения, основанной на эквиваленте трудовой (или любой другой) стоимости, отпадёт сама собой. Все блага можно будет раздавать бесплатно, и каждый возьмёт себе столько, сколько ему на самом деле надо с точки зрения общества.

Резюме

Задача планирования производства ставится следующим образом. Вектор x содержит все переменные, отражающие объёмы производства конечной и промежуточной продукции, а также объёмы использования природных ресурсов. Известно, что:

(10)


где A – матрица постоянных коэффициентов. Известны функции личной и общественной полезности каждого вида конечной продукции, U и U’ соответственно. Известна функция общественной полезности свободного времени Uсв(x). Необходимо найти оптимальный план, т.е. значение вектора x такое, что достигается максимум целевой функции:

(11)


Суммарные функции личной полезности U установлены по данным аукционов на разные виды конечной продукции. Функции общественной полезности U’ получены из суммарных функций личной полезности путём введения различных поправок, также являющихся функциями объёмов производства. Эти поправки могут отражать скрытые трудовые издержки или экономию труда, расходование или сохранение/восстановление природных ресурсов и иные общественно значимые аспекты производства и потребления данного продукта.

Распределение произведенной продукции осуществляется в общем случае за деньги. На каждый вид конечной продукции устанавливается равновесная цена, равная значению функции предельной полезности u(х) для произведённого объёма х. Функция предельной полезности u(x) равна производной суммарной функции личной полезности U(x). Такой способ определения цены позволяет избежать негативных явлений дефицита и неликвида. Для максимально быстрого установления равновесной цены используется информация о виде функций полезности, полученная по данным аукционов.

  • 1
Тьфу, прости мя Господи! Опять "за деньги", что сводит на нет все построения. Если в системе есть деньги, то воспроизводить будут их. Невзирая.

Есть предложения, как на данном этапе обойтись без денег?

У меня, если честно, 6-я формула сомнения вызывает. Надо ли нам ограничивать производство меньше потребностей? У нас получается запланированный дефецит. Может быть так: 1) Xi больше (либо равен) X^ и 1) Xi меньше (либо равен) Х^ + С, где С - это некий складской запас, расчитываемый из прогноза колебаний спроса ну и просто из возможностей производства?

Мы от неравенств 6 отказываемся ближе к концу, за ненадобностью.

Но если говорить о том этапн рассуждений, где они есть. О дефиците речь не идёт, потому что равновесные цены всё равно устанавливаются на реальный объём производства, а не на предельный (Х^).

Складские запасы, резервирование - это элемент управления рисками. Это тема большая, и мы её пока обошли краем. Но учитывать, конечно, надо.

После тяжелых попыток прочтения подобных статей, мне становиться страшно за наше будущее. (Ничего не понял). Слава богу управленцы математикой не особо увлекаются. Будьте попроще - люди подтянутся!)))


Когда решим математические проблемы - постараемя описать результаты проше ;)

ЗЫ. А вообще-то плохо, когда управленцы плохо знают математику и физику, о законах сохранения и термодинамике у них порой очень слабое представление.

Отличный анализ. У меня, правда, есть одно методологическое замечание.
Дело в том, что анализ этот показывает, что аналитический подход к целевой функции неизбежно приводит нас к достаточно быстрому росту сложности модели. Поэтому я думаю, что на практике мы будем вынуждены подойти к проблеме с другой стороны: используя систему управления, использующую обратную связь от общества и статистические данные. В этом плане показательна модель Ланге, описанная у Кокшотта: мы предлагаем населению товары по трудовой стоимости, а сталкиваясь с профицитом или дефицитом того или иного товара 1) используем ценовой демпфер, временно устанавливая цену, отличную от трудовой, 2) корректируем целевую функцию. При этом наша система управления в своих управляющих сигналах будет учитывать накопленную статистику спроса, чтобы в своих сигналах учитывать эластичность, возможные темпы наращивания производства и т.д. Ну и, разумеется, в эту систему должны быть «зашиты» резервы для социально-значимых и стратегических товаров, которые будут производиться с запасом, реализовываться по ценам ниже трудовой стоимости и т.д.

Спасибо.

В принципе, модель Ланге, по-моему, здесь включена, просто в улучшенном с помощью аукцинов виде.

Планирование это, конечно, хорошо.
Но такая линейная модель имеет недостатки.
Например, появление нового вида продукции требует перещета всей модели, трудность балансирования производства промежуточных продуктов.
Как мне кажется, основной недостаток в том, что она не адаптивна. А учитывая то, что сейчас можно вести (и ведется!) учет вплоть до отдельной гайки и делать эту информацию общедоступной, предпочтительнее была бы модель, которая бы как можно быстрее реагировала на изменение условий.

> Например, появление нового вида продукции требует перещета всей модели

Здесь никакой особой проблемы нет, с существующими вычислительными мощностями нет никаких проблем хоть в ежедневном пересчёте.

Тут, кроме меня, есть хоть один производственник, который знает работу предприятий в СССР? Эта модель хороша, как, впрочем масса других, но к реальному планированию она не имеет никакого отношения. Техпроцессы и оборудование меняется непрерывно и непрерывно меняются абсолютно ВСЕ параметры, которые можно заложить в модель.А таких предприятий будет... И никаких вычислительных мощностей не хватит чтобы посчитать хотя бы приблизительно. Так что общегосударственный план может быть свёрстан только на основе расчёта мощностей, произведённых на местах. И расчёт там совсем несложный. Высокой точности вычисления не требуется. Товарных остатков, следствия такого сверхприближённого расчёта бояться не следует. Следует бояться дефицита. Но, здесь расчёт ритма в помощь.

Да не вопрос, конечно, параметры модели должны с мест собираться. Статистика и расчёты с предприятий показывают, сколько каких ресурсов на производство определённого продукта требуется. Параметры, пусть приближённые, или даже как случайные величины, кладутся в общегосударственную задачу планирования. Как эту задачу правильно ставить - описано в статье.

Теряется весь смысл долгосрочного планирования, собственно из-за которого весь огород и городился. Меняются параметры - перещитываем модель - каких либо долгосрочных прогнозов или планов сделать нельзя.

В среднесрочной перспективе параметры сильно не меняются.

Долгосрочный (10-20 и более лет) план должен считаться, видимо, с учётом прогнозируемого изменения параметров.

Ну и никто не мешает долгосрочный план время от времени корректировать, если прогноз параметров оказался сильно неверным.

Хотя в статье речь скорее о среднесрочной перспективе пока.

Только перспективные и для крупных проектов. Здесь, скорее требуется некая динамическая система непрерывно моделирующая народное хозяйство.

  • 1
?

Log in

No account? Create an account